Kekontinuan fungsi merupakan salah satu konsep inti topologi.
Sebagai contoh fungsi kontinu, perhatikan fungsi h(t), yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t. Fungsi ini kontinu. Terdapat diktum dalam fisika klasik yang menyatakan bahwa di alam semuanya kontinu. Sebaliknya, jika M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, fungsi ini melompat ketika uang disimpan atau ditarik. Karena itu fungsi M(t) diskontinu.
Fungsi riil kontinu
Misalkan kita memiliki fungsi yang memetakan bilangan riil kepada bilangan riil, dengan domainnya merupakan suatu selang, seperti fungsi h dan M di atas. Fungsi seperti ini dapat dilambangkan dengan grafik dalam bidang Cartesius. Secara kasar dapat dikatakan fungsi tersebut kontinu bila grafik itu berupa kurva tunggal tidak terputus, tanpa "lubang" atau "lompatan"Untuk lebih cermat, kita mengatakan bahwa fungsi f kontinu pada suatu titik c bila dua persyaratan berikut terpenuhi:
- f(c) harus terdefinisi (c termasuk dalam domain f)
- limit f(x) saat x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan ada, dan harus sama dengan f(c).
Definisi Cauchy untuk fungsi kontinu
Tanpa harus menggunakan konsep limit, kita dapat mendefinisikan kekontinuan fungsi riil sebagai berikut:Perhatikan suatu fungsi f yang memetakan himpunan bilangan riil kepada himpunan bilangan riil lainnya, dan misalkan c adalah termasuk dalam domain f. Fungsi f dikatakan kontinu pada titik cbila pernyataan berikut berlaku: Untuk tiap bilangan ε > 0, seberapa pun kecilnya, terdapat suatu bilangan δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x dalam domain dengan c - δ < x < c + δ, nilai f(x) memenuhi:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar